Учебный проект Всегда на связи/третья лекция математика
Тригономе́трия — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии.
Тригонометрические функции
Синус-это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус-это отношение прилежащего катета к гипотянузе.
Тангес-это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Катангес-это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Секанс — отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс — величина, обратная синусу.
Функция синуса:
Область определения функции - множество действительных чисел: D(y)=R. Множество значений функции изменяется от -1 до 1: E(y)=[-1;1]. Функция y=sin(a) является нечетной, т.е. sin(-a)=-sin(a) Функция переодическая, наименьший положительный период равен 2pi: sin(a+2pi)=sin(a) Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента: sin(a)=cos(a)
Функция косинуса:
Область определения функции - множество действительных чисел: D(y)=R. Множество значений функции изменяется от -1 до 1: E(y)=[-1;1]. Функция y=cos(a) является четной, т.е. cos(a)=cos(-a) Функция периодическая, наименьший положительный период равен 2pi: cos(a+2pi)=cos(a) Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента: cos(a)=-sin(a)
Функция тангенса:
Область определения функции - множество действительных чисел: D(y)=R, кроме чисел pi/2+pi×n. Множество значений функции - множество всех действительных чисел: E(y)=R. Функция y=tg(a) является нечетной, т.е. -tg(a)=tg(-a) Функция периодическая, наименьший положительный период равен pi: tg(a+pi)=tg(a). Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения: tg(a)=1/cos^2(a)
Функция котангес:
Область определения функции - множество действительных чисел: D(y)=R, кроме чисел pi×n. Множество значений функции - множество всех действительных чисел: E(y)=R. Функция y=ctg(a) является нечетной, т.е. -ctg(a)=ctg(-a) Функция периодическая, наименьший положительный период равен pi: ctg(a+pi)=ctg(a). Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения: ctg(a)=-1/sin^2(a)
Торждества
Тождества — это равенства, справедливые при любых значениях входящих в них переменных.
sin^2(a)+cos(a)=1
sec^2(a)-tg^2(a)=1
csc^2(a)-ctg^2(a)=1
Формулы преобразования углов
sin(A+B)=sinA×cosB+sinB×cosA
sin(A-B)=sinA×cosB-sinB×cosA
cos(A+B)=cosA×cosB-sinB×sinA
cos(A-B)=cosA×cosB+sinB×sinA
tg(A+B)=(tgA+tgB)/(1-tgA*tgB)
tg(A-B)=(tgA+tgB)/(1+tgA*tgB)
ctg(A+B)=(ctgA-ctgB)/(1+ctgA*ctgB)
ctg(A-B)=(tgA+tgB)/(1-ctgA*ctgB)
Формулы тригонометрических функций двойного угла
sin(2a)- через sin и cos
sin(2a)=2sin(a)*cos(a)
sin(2a)- через tg и ctg:
sin(2a)=2tg(a)/(1+tg^2(a))=2ctg(a)/(1+ctg^2(a))=2/(ctg(a)+tg(a)
cos(2a)- через sin и cos:
cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)
cos(2a)- через tg и ctg:
cos(2a)=(1-tg^2(a))/(1+tg^2(a))=(ctg^2(a)-1)/(ctg^2(a)+1)=(ctg(a)-tg(a))/(ctg(a)+tg(a)
tg(2a) и сtg(2a):
tg(2a)=2tg(a)/(1-tg^2(a))= 2ctg(a)/(ctg^2(a)-1)=2/(ctg(a)-tg(a))
ctg(2a)=(ctg^2(a)-1)/2ctg(a)=(ctg(a)-tg(a))/2
Формулы тригонометрических функций тройного угла
sin(3a)=3sin(a)-4sin^3(a)
cos(3a)=4cos^3(a)-3cos(a)
tg(3a)=(3tg(a)-tg^3(a))/(1-3tg^2(a))
ctg(3a)=(ctg^3(a)-3ctg(a))/(3ctg^2(a)-1)
Квадрат синуса, косинуса, тангенса, котангенса
sin^2(a)=(1-cos(2a))/2
cos^2(a)= (1+cos(2a))/2 tg^2(a)= (1-cos(2a))/ (1+cos(2a))
ctg^2(a)= (1+cos(2a))/ (1-cos(2a))
Синус, косинус, тангенс, катангес в кубе
sin^3(a)=(3sin(a)-sin(3a))/4
cos^3(a)= (3cos(a)-cos(3a)/4
tg^3(a)= (3sin(a)-sin(3a))/ (3cos(a)+cos(3a))
ctg^3(a)= (3cos(a)-cos(3a))/ (3sin(a)-sin(3a))
