Вики-учебник для подготовки к ЕГЭ/Раздел Информатика/Основы логики/Логические выражения и их преобразование

Версия 21:20, 7 декабря 2008

Содержательное обобщение изученного материала

Основным объектом изучения математической логики являются элементарные высказывания. Под термином "высказывание" мы будем понимать повествовательное предложение. При этом нас будет интересовать не построение: подлежащее - сказуемое - дополнение, а характерные свойства рассматриваемых образований: являются они истинными или ложными. Высказывания отличаются от других языковых образований тем, что мы можем присвоить им определенное значение истинности - "истина", если они истинны, значение "ложь", если они ложны. При этом мы исходим из "принципа исключенного третьего", или "третьего не дано", который состоит в том, что каждое высказывание или истинно, или ложно, и других возможностей нет. Ситуация, когда ни истинно, ни ложно, была бы и в обычном смысле неразрешимой. Этот принцип называют принципом двузначности. Все научные знания (законы и явления физики, химии и биологии, математические теоремы и т.д.), события повседневной жизни, ситуации, возникающие в процессах управления, формулируются в виде высказываний.

Примерами указанных высказываний являются:

"35 делится на 7", "Москва - столица России". Все они имеют значение истинности "истина". Следующие высказывания имеют значение истинности "ложь": "Мышь больше слона", "Молодые лошади называются щенятами", "6 больше 8". Повелительные ("Войдите, пожалуйста!"), вопросительные ("Знаешь ли ты информатику?") и бессмысленные предложения не являются высказываниями.

Если логика имеет дело со смыслом высказываний, то в алгебре логики работают с формулами. Любое элементарное высказывание обозначается малой буквой латинского алфавита (в нашем повествовании - х i ) , совершенно так же, как в элементарной алгебре обозначаются величины, когда мы абстрагируемся от того, какие именно предметы изучаются, нас интересует только их количество и соотношение между ними. Поскольку высказывание может принимать одно из двух значений, то говорят о "переменных высказываниях". Это означает, что рассматривается не только конкретно определенное высказывание хi , но также некоторая логическая переменная х i , которую можно использовать для обозначения произвольного высказывания. Замещение переменной конкретным высказыванием означает предоставления одного из значений "истина" или "ложь".

Итак, в алгебре логики в каждом высказывании мы будем отвлекаться от всех особенностей высказывания, кроме одного - истинно оно или ложно. Истинное высказывание условно обозначается единицей (если x1 - высказывание " 35 делится на 7", то x1 = 1), а ложное - нулем (если x2 - высказывание "мышь больше слона", то x2 = 0).

Таким образом, диапазон изменения переменного - xi в алгебре логики существенно меньше, чем изменение переменного в элементарной алгебре: оно принимает только одно из двух значений - или 1, или 0.

Из элементарных высказываний с помощью логических связок " и", "или", "не", "если : то" и других (логических операций) строятся сложные высказывания - формулы (или функции ) алгебры логики. Способы построения новых высказываний из заданных с помощью логических связок, их преобразования и установления истинности изучаются в логике высказываний с помощью алгебраических методов.

Сущность алгебраического подхода к логике поясним на примере элементарной алгебры - алгебры арифметики. Основные объекты алгебры арифметики - выражения (формулы), состоящие из букв, знаков операций и скобок. С формулами производят процедуры двух типов: вычисления и преобразования.

Вычисления - вместо букв подставляют числа, знаки указывают действия, а скобки их порядок. Каждая формула задает функцию. Переменные - буквы формулы.

Преобразование формулы происходит так: исходная формула или ее часть F1 заменяется другой, в результате получается новая формула F2, которая эквивалентна F1 (т.е. при любых значениях аргументов F1 и F2 дают один и тот же результат). Преобразование выражений производится на основе законов арифметики, а также полученных из них соотношений типа (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 и т.п. По аналогии строится алгебра логики. Она рассматривает логические выражения как алгебраические, которые можно преобразовать по определенным правилам. Разница заключается в том, что в выражениях алгебры логики переменные являются логическими (0 и 1). Знаки операций обозначают логические операции (логические связки).

В логических задачах исходными данными являются суждения, подчас неожиданные и нередко весьма запутанные. Высказывания и связи между ними бывают иногда столь противоречивыми, что такие "твердые орешки" не под силу "раскусить" и вдумчивому математику. В данных случаях большую помощь может оказать ЭВМ как необходимый инструмент эффективного решения логических задач с многими переменными. В настоящее время нет ни одного языка программирования, который не включал бы логических операций.

Материал для изучения

Рекомендуемые ссылки

Список литературы

Назад к разделу Вики-учебник для подготовки к ЕГЭ/Раздел Информатика